Mod, Medyan, Aritmetik Ortalama, Standart Sapma Hesaplama ve Veri Sıralama

Mod, bir sayısal veri serisi içinde en çok tekrar eden sayıdır. Bu sayının tekrar adedine de frekans denir.

Örneğin 1, 5, 4, 5, 1, 3, 5 serisinde en çok tekrar eden sayı 5 sayısıdır ve frekansı 3'tür (3 kez tekrar etmiş).

Bazi serilerin 2 modu olabilir. Örneğin 1, 5, 4, 5, 3, 4, 5, 2, 3, 4 serisinde 4 ve 5 sayıları 3'er kez tekrar etmişlerdir. Bu durumda bu serinin 4 ve 5 olmak üzere iki modu vardır.

Medyan, bir sayısal veri serisi sıralandığında ortada kalan sayıdır.

Örneğin 2, 1, 5, 4, 5, 1, 2, 3, 5 serisi sıralanırsa 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5 serisi elde edilir. Bu seri 9 elemanlı olduğundan ortadaki, yani 5. eleman (medyan) olacaktır. 5. eleman 3 sayısıdır.

Eleman sayısı tek sayı olan bir seride medyan değerin sırasının hesaplaması şu şekilde formüle edilir.
Medyanın Sırası = (Eleman Sayısı + 1) / 2
Bu formülü yukarıdaki örneği uygulayacak olursak;
Medyanın Sırası = (9 + 1) / 2 = 5

Veri serisi eleman sayısı bir çift sayı ise bu durumda serinin 2 medyanı olacaktır. Örneğin 2, 1, 5, 4, 5, 1, 2, 3, 5, 4 serisi sıralandığında 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5 serisi elde edilir. Seri 10 elemanlı olduğundan medyan 2 sayı olacaktır. Bunlar ortadaki 3 ve 4 sayılarıdır.

Eleman sayısı çift sayı olan bir seride medyan değerlerin sıralarının hesaplanması şu şekilde formüle edilir.
1. Medyanın Sırası = Eleman Sayısı / 2
2. Medyanın Sırası = Eleman Sayısı / 2 + 1

Aritmetik ortalama, bir sayı serisindeki sayıların toplamının serinin eleman sayısına (sayı adedine) bölünmesi sonucu elde edilen değerdir.

Standart sapma, bir serisdeki sayıların, serinin aritmetik ortalamasından farklarının karelerinin toplamının dizinin eleman sayısının bir eksiğine bölümünün kareköküdür.

Biraz açmak gerekirse, stantart sapma hesaplamak için;

• Sayıların aritmetik ortalaması hesaplanır.
• Her bir sayının aritmetik ortalamadan farkı bulunur.
• Bulunan farkların her birinin karesi hesaplanır.
• Farkların kareleri toplanır.
• Elde edilen toplam, serinin eleman sayısının bir eksiğine bölünür.
• Bulunan sayının karekökü alınır.

Standart sapma ile verilerin ne kadarının ortalamaya yakın olduğunu buluruz. Eğer standart sapma küçükse veriler ortalamaya yakın yerlerde dağılmışlardır. Bunun tersi olarak standart sapma büyükse veriler ortalamadan uzak yerlerde dağılmışlardır. Bütün değerler aynı olursa standart sapma sıfır olur.

Bir örnekle açıklayalım. İki tane veri dizimiz olsun. Veri dizilerinden bir tanesinin elemanlarının

90, 70, 80 ve 80

olduğunu, diğerinin ise

10, 30, 80 ve 200

olduğunu varsayalım. Bu iki dizinin de ortalamaları 80'dir. Ancak birinci dizinin dağılımının daha düzgün olduğu açıkça görülmektedir. Herhangi bir ölçüm için kullanılan bu dizinin standart sapması, elemanların bir çoğu ortalamaya yakın olduğundan küçük çıkacaktır. İkinci dizide ise elemanların bir çoğunun ortalamadan uzak değerler aldığı görülüyor. Bu dizinin de standart sapması büyük çıkacaktır. Dolayısıyla buradan birinci dizideki verinin daha güvenilir ve dengeli olduğunu söyleyebiliriz. Örnekteki birinci dizinin standart sapması 8,16.., ikinci dizinin standart sapması ise 85,24... bulunur.

Bu dizilerin bir sınıftaki öğrencilerin notları olduğunu varsayarsak ilk sınıftaki öğrencilerin notları daha istikrarlıdır ve öğrencileri daha başarılıdır diyebiliriz. Zaten ikinci dizideki (sınıftaki) 100 değerini çıkardığınızda ortalamanın 40'a (diğer sınıfın yarısı) düştüğü görülür.

Yine bu dizideki değerlerin iki marketin günlük satış tutarları olduğunu varsayarsak, birinci marketin verilerin ölçüldüğü zaman dilimi içindeki satışlarının ikinci marketten daha iyi olduğunu söyleyebiliriz.

Standart sapma bize verilerin ne kadar düzgün ve dengeli dağıldığını gösterir.

Görüldüğü gibi stantart sapmayı dizi ile ilgili tanı koyma ve dolayısıyla bazı kararlar almada kullanabiliriz.

Tabiki standart sapma daha büyük veri dizilerinde kullanıldığında daha fazla işimize yarayacaktır.

Biri basit iki ayrı formül verelim.

Birinci formül şu:

Formülü açıklamak gerekirse:

• σ : Standart Sapma
• N : Dizinin Eleman Sayısı
• x_i : Dizinin x. elemanı.
• x : Dizideki Sayıların Aritmetik Ortalaması
• (x_i - x)² : i. elemanın ortalamadan farkının karesini al.

• N
  Σ	: 1. elemandan (x=1) başlayıp son elemana kadar (N) her bir eleman için tekrarladığın karşısındaki işlemin sonuçlarını topla.
  x=1

• 1	: Yandaki değeri N-1'e böl.
  N-1

• √ : Ve son olarak elde edilen değerin karekökünü hesapla.

Basit formülümüz şöyle:

Bu formüldeki x, aritmetik ortalama, n ise eleman sayısı. Formüle göre tüm elemanların aritmetik ortalamadan farklarının karelerini topluyoruz, sonucu eleman sayısının bir eksiğine bölüyoruz ve çıkan değerin karekökünü alıyoruz.

İstatistikte kullanılan bu hesaplamaların tamamına Merkezi Eğilim Ölçüleri denir. Bunların hepsinde elde edilen sonuçların verilerin merkezine olan uzaklığı dikkate alınır. Bu şekilde serideki her bir veri veya serinin tamamı hakkında bazı kararlar verilir.

Merkezi eğilim ölçülerine ortalamalar da diyebiliriz. Her bir yöntem farklı bir şekilde ortalama alır.

Bir çok eğilim ölçüsü olmasının sebebi şudur: Seriler birbirinden farklı özellikler gösterir. Örneğin bir seride serideki diğer değerlerden çok farklı olan değerler bulunabilir. 2, 2, 4, 6, 8, 1000 gibi bir seride 1000 değeri diğerlerinden çok farklıdır. Bu durumda aritmetik ortalamanın bize çok bir faydası olmaz. Bunların kişilerin elde ettiği gelirler olduğunu düşündüğünüzde, bu toplumun ortalama gelirinin 170 TL olduğunu söylememiz, toplumun çok büyük bir kesimi bu gelirin çok altında kaldığından doğru bir çıkarım olmaz. Bu çıkarıma dayanarak kişilerin maaşlarına aynı oranda zam yaptığımızda büyük bir adaletsizliğe sebep oluruz. Sonuç olarak böyle bir dizide aritmetik ortalama yerine mod, medyan veya standart sapmayı kullanmak daha uygun olabilir.

İkinci bir örnek olarak aşağıdaki diziyi ele alalım :
10, 20, 30, 40, 40, 40, 40, 40, 50, 1000
Peki sizce bu dizide hangi yöntemi kullanmalıyız?