Mod, Medyan, Aritmetik Ortalama, Standart Sapma Hesaplama ve Veri Sıralama

Burada mod hesaplama, medyan hesaplama, aritmetik ortalama hesaplama, standart sapma hesaplama, ranj hesaplama, standart hata hesaplama, dizideki sayıların toplamını hesaplama, dizideki en büyük sayıyı bulma, dizideki en küçük sayıyı bulma, verileri / diziyi büyükten küçüğe sıralama, verileri / diziyi küçükten büyüğe sıralama, dizideki sayıların frekanslarını hesaplama işlemlerini yapabilir ve diğer standart sapma ile ilgili hesaplama sonuçlarını görebilirsiniz.

Hesaplama yapacağınızı diziyi aşağıdaki metin kutusuna yapıştırınız. Dizi elemanlarını nokta, virgül, boşluk, tire, sekme (tab karakteri) veya satır sonu (her satıra bir değer) ile ayırabilirsiniz. Verileri yapıştırdıktan sonra "Hesapla" tuşunu tıklayınız.

Mod (tepe değer), medyan (ortanca), aritmetik ortalama ve standart sapma hakkında aşağıdaki metinden bilgi alabilirsiniz.

Mod, Medyan ve Standart Sapma Hesaplama
Dizi elemanlarını nokta, virgül, boşluk, tire, sekme (tab karakteri) veya satır sonu (her satıra bir değer) ile ayırabilirsiniz.

(En az 2 eleman)

Mod (Tepe Değer) Nedir?

Mod, bir sayısal veri serisi içinde en çok tekrar eden sayıdır. Bu sayının tekrar adedine de frekans denir.

Örneğin 1, 5, 4, 5, 1, 3, 5 serisinde en çok tekrar eden sayı 5 sayısıdır ve frekansı 3'tür (3 kez tekrar etmiş).

Bazi serilerin 2 modu olabilir. Örneğin 1, 5, 4, 5, 3, 4, 5, 2, 3, 4 serisinde 4 ve 5 sayıları 3'er kez tekrar etmişlerdir. Bu durumda bu serinin 4 ve 5 olmak üzere iki modu vardır.

Medyan (Ortanca) Nedir?

Medyan, bir sayısal veri serisi sıralandığında ortada kalan sayıdır.

Örneğin 2, 1, 5, 4, 5, 1, 2, 3, 5 serisi sıralanırsa 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5 serisi elde edilir. Bu seri 9 elemanlı olduğundan ortadaki, yani 5. eleman (medyan) olacaktır. 5. eleman 3 sayısıdır.

Eleman sayısı tek sayı olan bir seride medyan değerin sırasının hesaplaması şu şekilde formüle edilir.
Medyanın Sırası = (Eleman Sayısı + 1) / 2
Bu formülü yukarıdaki örneği uygulayacak olursak;
Medyanın Sırası = (9 + 1) / 2 = 5

Veri serisi eleman sayısı bir çift sayı ise bu durumda serinin 2 medyanı olacaktır. Örneğin 2, 1, 5, 4, 5, 1, 2, 3, 5, 4 serisi sıralandığında 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5 serisi elde edilir. Seri 10 elemanlı olduğundan medyan 2 sayı olacaktır. Bunlar ortadaki 3 ve 4 sayılarıdır.

Eleman sayısı çift sayı olan bir seride medyan değerlerin sıralarının hesaplanması şu şekilde formüle edilir.
1. Medyanın Sırası = Eleman Sayısı / 2
2. Medyanın Sırası = Eleman Sayısı / 2 + 1

Aritmetik Ortalama Nedir

Aritmetik ortalama, bir sayı serisindeki sayıların toplamının serinin eleman sayısına (sayı adedine) bölünmesi sonucu elde edilen değerdir.

Standart Sapma Nedir? Standart Sapma Nasıl Hesaplanır?

Standart sapma, bir serisdeki sayıların, serinin aritmetik ortalamasından farklarının karelerinin toplamının dizinin eleman sayısının bir eksiğine bölümünün kareköküdür.

Biraz açmak gerekirse, stantart sapma hesaplamak için;

  • Sayıların aritmetik ortalaması hesaplanır.
  • Her bir sayının aritmetik ortalamadan farkı bulunur.
  • Bulunan farkların her birinin karesi hesaplanır.
  • Farkların kareleri toplanır.
  • Elde edilen toplam, serinin eleman sayısının bir eksiğine bölünür.
  • Bulunan sayının karekökü alınır.

Standart sapma ile verilerin ne kadarının ortalamaya yakın olduğunu buluruz. Eğer standart sapma küçükse veriler ortalamaya yakın yerlerde dağılmışlardır. Bunun tersi olarak standart sapma büyükse veriler ortalamadan uzak yerlerde dağılmışlardır. Bütün değerler aynı olursa standart sapma sıfır olur.

Bir örnekle açıklayalım. İki tane veri dizimiz olsun. Veri dizilerinden bir tanesinin elemanlarının

90, 70, 80 ve 80

olduğunu, diğerinin ise

10, 30, 80 ve 200

olduğunu varsayalım. Bu iki dizinin de ortalamaları 80'dir. Ancak birinci dizinin dağılımının daha düzgün olduğu açıkça görülmektedir. Herhangi bir ölçüm için kullanılan bu dizinin standart sapması, elemanların bir çoğu ortalamaya yakın olduğundan küçük çıkacaktır. İkinci dizide ise elemanların bir çoğunun ortalamadan uzak değerler aldığı görülüyor. Bu dizinin de standart sapması büyük çıkacaktır. Dolayısıyla buradan birinci dizideki verinin daha güvenilir ve dengeli olduğunu söyleyebiliriz. Örnekteki birinci dizinin standart sapması 8,16.., ikinci dizinin standart sapması ise 85,24... bulunur.

Bu dizilerin bir sınıftaki öğrencilerin notları olduğunu varsayarsak ilk sınıftaki öğrencilerin notları daha istikrarlıdır ve öğrencileri daha başarılıdır diyebiliriz. Zaten ikinci dizideki (sınıftaki) 100 değerini çıkardığınızda ortalamanın 40'a (diğer sınıfın yarısı) düştüğü görülür.

Yine bu dizideki değerlerin iki marketin günlük satış tutarları olduğunu varsayarsak, birinci marketin verilerin ölçüldüğü zaman dilimi içindeki satışlarının ikinci marketten daha iyi olduğunu söyleyebiliriz.

Standart sapma bize verilerin ne kadar düzgün ve dengeli dağıldığını gösterir.

Görüldüğü gibi stantart sapmayı dizi ile ilgili tanı koyma ve dolayısıyla bazı kararlar almada kullanabiliriz.

Tabiki standart sapma daha büyük veri dizilerinde kullanıldığında daha fazla işimize yarayacaktır.

Standart Sapmanın Formülü Nedir?

Biri basit iki ayrı formül verelim.

Birinci formül şu:
Standart Sapma Formülü

Formülü açıklamak gerekirse:

  • σ : Standart Sapma
  • N : Dizinin Eleman Sayısı
  • xi : Dizinin x. elemanı.
  • x : Dizideki Sayıların Aritmetik Ortalaması
  • (xi - x)2 : i. elemanın ortalamadan farkının karesini al.
  • N
    Σ : 1. elemandan (x=1) başlayıp son elemana kadar (N) her bir eleman için tekrarladığın karşısındaki işlemin sonuçlarını topla.
    x=1
  • 1 : Yandaki değeri N-1'e böl.
    N-1
  •    : Ve son olarak elde edilen değerin karekökünü hesapla.

Basit formülümüz şöyle:
Standart Sapma Formülü

Bu formüldeki x, aritmetik ortalama, n ise eleman sayısı. Formüle göre tüm elemanların aritmetik ortalamadan farklarının karelerini topluyoruz, sonucu eleman sayısının bir eksiğine bölüyoruz ve çıkan değerin karekökünü alıyoruz.

Mod, medyan, aritmetik ortalama ve standart sapma ne işe yarar?

İstatistikte kullanılan bu hesaplamaların tamamına Merkezi Eğilim Ölçüleri denir. Bunların hepsinde elde edilen sonuçların verilerin merkezine olan uzaklığı dikkate alınır. Bu şekilde serideki her bir veri veya serinin tamamı hakkında bazı kararlar verilir.

Merkezi eğilim ölçülerine ortalamalar da diyebiliriz. Her bir yöntem farklı bir şekilde ortalama alır.

Bir çok eğilim ölçüsü olmasının sebebi şudur: Seriler birbirinden farklı özellikler gösterir. Örneğin bir seride serideki diğer değerlerden çok farklı olan değerler bulunabilir. 2, 2, 4, 6, 8, 1000 gibi bir seride 1000 değeri diğerlerinden çok farklıdır. Bu durumda aritmetik ortalamanın bize çok bir faydası olmaz. Bunların kişilerin elde ettiği gelirler olduğunu düşündüğünüzde, bu toplumun ortalama gelirinin 170 TL olduğunu söylememiz, toplumun çok büyük bir kesimi bu gelirin çok altında kaldığından doğru bir çıkarım olmaz. Bu çıkarıma dayanarak kişilerin maaşlarına aynı oranda zam yaptığımızda büyük bir adaletsizliğe sebep oluruz. Sonuç olarak böyle bir dizide aritmetik ortalama yerine mod, medyan veya standart sapmayı kullanmak daha uygun olabilir.

İkinci bir örnek olarak aşağıdaki diziyi ele alalım :
10, 20, 30, 40, 40, 40, 40, 40, 50, 1000
Peki sizce bu dizide hangi yöntemi kullanmalıyız?

mathlover
05.12.2018 00.57

Önceden ne güzel iki elemanlı ve üç elemanlı şeylerin standard sapmasını buluyorduk en az 4 tane eleman istemesi gerçekten çok saçma.

adam
26.12.2018 00.35

binlerce elemanlı şeylerinkini hesaplamaya ne diycen peki ?

hesabet.com
26.12.2018 02.13

En az eleman sayısı 2'ye indirildi. Çok elemanlı dizilerde hesaplama zaten yapıyor. Biz 25000 eleman ile test ettik. Daha fazla eleman sayısıyla da hesaplama yapabilir.

oğuzhan
24.05.2018 04.09

yapılan bir sınavda ortalama 55, standart sapma 20 olarak hesaplanmıştır. sınava giren bir öğrencinin notunun (40-75) arasında olma olasılığı nedir?

büşra han
29.04.2018 13.33

arkadaşlar mod1 in çözümü nasıl

büşra
23.04.2018 10.46

22 kişilik bir sınıfa 20 soru üzerinden test yapılacak bu testin standart sapması nedir?
öğrencilerin aldığı notlar şu şekildedir; 100,90,80,80,75,70,65,65,60,60,60,55,55,50,50,50,50,50,45,40,30,25

lütfen standart ortalamasını bulmama yardımcı olun.

Ömer
29.05.2018 11.57

Buşra hesap makinesini al eline mode kısmından SD yi sec sonra bu degerleri hesap makinasina sirayla gir ornegin 100 yazip sag tarafta m+tusu var ona bas tum degerleri yaz her birinde m+ ya basicak sekilde sonra da shift+ssumvar 2 de olmali ona bas orda ikinci siradaki standart sapmayk verir islemsiz hesap makinesiyle kolayca yapabilirsin :) anlatabildiysem ce isine yararsa mutlu olurum :)

Yunus
20.01.2019 21.49

Önce örneklem ortalamasını bul. Sonra her bir nottan ortalamayı çıkar ve karelerini alıp topla sonla N-1 yani çıkan sonucu 19a böl çıkan sonucun kare kökün al.

Mehmet ali
25.02.2018 15.21

1000 sayısı uç bir değer olduğu için ;
"10, 20, 30, 40, 40, 40, 40, 40, 50, 1000" serisinde baştan 1 değer sondan 1 değer sildiğimizde uç değerden kurtulmuş oluyoruz. O halde yeni serimiz ;
" 20, 30, 40, 40, 40, 40, 40, 50 " olmuş olur bu seri üzerinde işlem yapmak daha uygun olacaktır .

Gizli
27.05.2018 17.20

1,2,4,5 sayılarının standart sapması nasıl oluyor

Kubra
01.01.2018 02.17

24,32,42,10,61,85,25,61,56,25,61,72,61,21, 90,17 bu dizenin medyanı nasıl bulunur yardımcı olur musunuz

nicco
12.01.2018 12.15

yanlış değilsem cevap 43

blackblue
07.03.2018 16.03

cift sayı olduugunda durum,kucukden buyuge dogru sıralıyoruz. sonra medyanın sayısı /2+1. yani 10 17 21 24 25 25 32 42 56 61 61 61 61 72 85 90
/2 (42) + 1 = (56) 8. ve 9. sayılar oluyor.

Hasan
13.03.2018 21.29

en ortadaki iki sayinin ortalamasi median olur yani 42 ve 56 nin ortalamasi. Cevap 49

Bella
21.03.2018 16.12

Ortalar 42 ve 56 medyanda 49

cezayironder1903
16.04.2018 19.21

Kucukten buyuge dogru sirala sonra ortancasini al cvp 61 cikmasi lazim

Nufer öztürk
08.08.2018 18.07

Küçükten büyüğe sıralayın ortadaki terimdir. Çift sayıda terim varsa ortaki iki sayının aritmetik ortasını alın

Kübra
22.11.2017 17.44

"10, 30, 80 ve 100" örneğinde ufak bir hata olmuş, ortalamaları 80 değil.

hesabet.com
22.11.2017 20.57

Düzeltildi. Uyarınız için teşekkür ederiz.

Abdurrahman
27.02.2018 14.24

100 değil 200 yazılı , dikkat edin..

© Burada yayınlanan metinler kaynağı ve lisansı bildirilenler hariç hesabet.com'a ait özgün metinlerdir. Herhangi bir yerden alıntı değildir. Bu metinler derslerde kaynak olarak kullanılabilir ancak başka bir web sitesi, görsel veya yazılı ortamda yayınlanamaz.